Huit modules pour comprendre le cours depuis zéro : vecteurs et forces, vecteur position, produit scalaire, équilibre, produit vectoriel, moments. Ensuite viennent des exercices avec indices et corrections cachées, un mini-DS chronométré et une fiche à relire samedi matin. Coche chaque module quand tu l'as compris : ta progression reste enregistrée dans ce navigateur.
Ton plan jusqu'à samedi
Jeudi après-midi · comprendre
Modules 1 à 4 (environ 2 h) : tout repose sur les vecteurs.
Module 5, l'équilibre (40 min).
Modules 6 à 8, produit vectoriel et moments (1 h 30).
Pour chaque module : lire l'intuition, refaire l'exemple sur papier sans regarder, répondre aux questions rapides.
Vendredi soir · s'entraîner
Exercices 1 à 12 (1 h 30). Cherche 10 min avant d'ouvrir l'indice.
Mini-DS en 1 h, sans regarder le cours.
Corrige-toi, puis refais les exercices de tes PDF du prof sur tes points faibles.
Fiche récap en dernier, puis dors.
Règle d'or pour le DS. Toujours : un schéma, un repère, les vecteurs écrits en composantes (i, j, k), les unités, et un résultat encadré. La moitié des points perdus en statique vient d'un signe ou d'un angle mal lu, pas d'une notion incomprise.
01
Forces et vecteurs en 2D
chapitre 1 · 30 min
L'idée. Une force, c'est une poussée ou une traction. Pour la décrire, il faut trois choses : son intensité (combien, en newtons), sa direction (dans quel sens elle pousse) et son point d'application. Un nombre seul ne suffit pas, d'où le vecteur. Toute la statique consiste à additionner des flèches.
Scalaire ou vecteur ?
Un scalaire n'a qu'une valeur : masse, longueur, temps. Un vecteur a une intensité et une direction : force, position, moment. On écrit un vecteur en gras (F) et son intensité en maigre (F ou |F|).
Unités à connaître
Système SI : longueur en m, masse en kg, temps en s, force en newtons. 1 N = 1 kg·m/s². Le poids d'une masse m vaut W = m·g avec g = 9,81 m/s². Une caisse de 20 kg pèse donc 196,2 N et non 20 N. C'est l'erreur n°1.
Décomposer une force
On remplace la flèche oblique par deux flèches le long des axes x et y. Si θ est l'angle mesuré depuis l'axe x :
Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ
Le cosinus va avec le côté adjacent à l'angle, le sinus avec le côté opposé.
Piège. Si l'angle est donné par rapport à l'axe y, les rôles s'inversent : Fx = F sin θ et Fy = F cos θ. Regarde toujours où est l'angle sur le dessin. Et donne un signe à chaque composante : une force qui va vers la gauche a Fx < 0.
Pente donnée par un petit triangle (souvent 3-4-5) : on n'a pas besoin de l'angle. Si le triangle a pour côtés 3 (vertical), 4 (horizontal), 5 (hypoténuse), alors Fx = F·4/5 et Fy = F·3/5.
Résultante de plusieurs forces
Décompose chaque force en Fx et Fy, avec leurs signes.
Additionne : FRx = ΣFx et FRy = ΣFy.
Intensité : FR = √(FRx² + FRy²).
Direction : θ = arctan(FRy / FRx), puis vérifie le quadrant avec les signes de FRx et FRy.
Écriture vectorielle équivalente : F = Fx i + Fy j, où i et j sont les vecteurs unitaires des axes.
Exemple corrigé
Deux forces tirent sur une vis : F1 = 100 N à 15° au-dessus de l'axe x, F2 = 150 N à 80° au-dessus de l'axe x. Trouve la résultante.
F1x = 100 cos15° = 96,59 N F1y = 100 sin15° = 25,88 N
F2x = 150 cos80° = 26,05 N F2y = 150 sin80° = 147,72 N
FRx = 122,64 N FRy = 173,60 N
FR = √(122,64² + 173,60²) = 212,6 N
θ = arctan(173,60 / 122,64) = 54,8° (au-dessus de x)
Une force de 50 N fait 30° avec l'axe y. Que vaut Fx ?
L'angle est mesuré depuis y, donc Fx = F sin30° = 25 N (et Fy = F cos30° = 43,3 N).
Quel est le poids d'une lampe de 8 kg ?
W = m g = 8 × 9,81 = 78,48 N.
FRx = −30 N et FRy = 40 N. Dans quel quadrant pointe la résultante ?
x négatif, y positif : en haut à gauche. FR = 50 N et elle fait 53,1° avec l'axe −x (126,9° depuis +x). La calculatrice donnerait −53,1° : c'est pour ça qu'on vérifie les signes.
02
Vecteurs cartésiens en 3D
chapitre 1 · 30 min
L'idée. Même chose qu'en 2D, avec un troisième axe z. Un vecteur, c'est trois nombres : combien il avance selon x, selon y, selon z.
A = Ax i + Ay j + Az k
|A| = √(Ax² + Ay² + Az²)
Les angles directeurs α, β, γ
Ce sont les angles entre le vecteur et les axes positifs x, y, z. Chacun est entre 0° et 180°.
cos α = Ax / A cos β = Ay / A cos γ = Az / A
cos²α + cos²β + cos²γ = 1
Le vecteur unitaire (longueur 1) dans la direction de A est uA = A / A = cos α i + cos β j + cos γ k. Il sert à « porter » une direction : une force F dans cette direction s'écrit F = F·u.
Piège. Si on te donne seulement deux angles, la relation cos²α + cos²β + cos²γ = 1 donne le troisième, mais avec deux solutions possibles (γ et 180° − γ). Le dessin dit lequel : si la force pointe vers le bas, cos γ < 0, donc γ > 90°.
Autre façon de donner une direction : θ et φ
Parfois la figure donne un angle φ avec l'axe z et un angle θ dans le plan x-y. On projette en deux temps :
Fz = F cos φ F' = F sin φ (projection dans le plan x-y)
Fx = F' cos θ Fy = F' sin θ
Exemple corrigé 1
F = 200 N avec α = 60°, β = 45°, et F pointe vers le bas (z négatif). Écris F en vecteur cartésien.
cos²γ = 1 − cos²60° − cos²45° = 1 − 0,25 − 0,5 = 0,25 → cos γ = ±0,5
F pointe vers le bas → cos γ = −0,5 → γ = 120°
F = 200(0,5 i + 0,707 j − 0,5 k) = {100 i + 141,4 j − 100 k} N
Exemple corrigé 2
La résultante sur un anneau vaut FR = {50 i − 40 j + 180 k} N. Intensité et angles directeurs ?
cos 90° = 0 donc Ax = 0 : le vecteur est perpendiculaire à l'axe x (il est dans le plan y-z).
Norme de A = {2 i − 3 j + 6 k} ?
√(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
03
Vecteur position et force le long d'une droite
chapitre 1 · 25 min
L'idée. Dans les exercices, on te donne rarement les angles. On te donne des coordonnées de points (où est accroché le câble, où il arrive). Le vecteur position transforme deux points en une direction, et cette direction dit où tire le câble.
r_AB = (xB − xA) i + (yB − yA) j + (zB − zA) k « arrivée moins départ »
La longueur du câble AB est |rAB|. Une force F qui tire de A vers B (le long du câble) s'écrit :
F = F · u_AB = F · r_AB / |r_AB|
Lis les coordonnées de A et de B sur la figure (attention aux cotes sur les axes négatifs).
Calcule rAB = B − A.
Calcule sa norme.
Multiplie le vecteur par F / |rAB|.
Piège. Un câble tire sur le point où il est accroché, vers l'autre extrémité. La force sur A dirigée vers B se calcule avec rAB, pas rBA. Inverser donne un signe faux sur toutes les composantes.
Exemple corrigé
Un homme tire une corde avec 70 N. La corde va de A(0 ; 0 ; 30) m à B(12 ; −8 ; 6) m. Écris la force exercée en A, vers B, et ses angles directeurs.
r_AB = (12 − 0) i + (−8 − 0) j + (6 − 30) k = {12 i − 8 j − 24 k} m
|r_AB| = √(144 + 64 + 576) = √784 = 28 m
u_AB = (12/28) i − (8/28) j − (24/28) k
F = 70 · u_AB = {30 i − 20 j − 60 k} N
α = arccos(30/70) = 64,6° β = arccos(−20/70) = 106,6° γ = arccos(−60/70) = 149,0°
A(1 ; 2 ; 0), B(4 ; 6 ; 0). Longueur AB ?
rAB = {3 i + 4 j} → √(9 + 16) = 5.
04
Produit scalaire
chapitre 1 · 30 min
L'idée. Le produit scalaire répond à la question « combien de A va dans la direction de B ? ». Le résultat est un nombre, pas un vecteur. Il sert à deux choses : trouver l'angle entre deux droites et projeter une force sur un axe.
A · B = |A| |B| cos θ (définition géométrique)
A · B = Ax Bx + Ay By + Az Bz (calcul en composantes)
Règles : i·i = j·j = k·k = 1 et i·j = j·k = k·i = 0. Le produit scalaire est commutatif : A·B = B·A. Si A·B = 0 (avec A et B non nuls), les vecteurs sont perpendiculaires.
Application 1 : angle entre deux vecteurs
θ = arccos( A·B / (|A| |B|) ) 0° ≤ θ ≤ 180°
Application 2 : projection d'une force sur un axe
Soit un axe de vecteur unitaire ua. La composante de Fparallèle à l'axe et la composante perpendiculaire sont :
F∥ = F · u_a (scalaire, peut être négatif)
F∥ (vecteur) = (F · u_a) u_a
F⊥ = √(F² − F∥²) ou F⊥ (vecteur) = F − F∥ u_a
Piège. On projette sur un vecteur unitaire. Si tu fais F · r au lieu de F · u, ton résultat est multiplié par la longueur |r|. Divise toujours par la norme.
Exemple corrigé 1 · angle
Une tige va de A à C avec rAC = {−3 j} m, un câble va de A à B avec rAB = {2 i − j − 2 k} m. Angle entre la tige et le câble ?
4 − 2 + 6 = 8. Le produit scalaire donne un nombre, jamais un vecteur.
F∥ est négatif. Qu'est-ce que ça veut dire ?
θ > 90° : la composante le long de l'axe est dans le sens −u. C'est un résultat valable.
05
Équilibre d'une particule
chapitre 2 · 40 min
L'idée. Un objet immobile (ou à vitesse constante) a une accélération nulle. D'après Newton, ΣF = m a = 0 : toutes les forces s'annulent. On écrit cette équation axe par axe, et chaque axe donne une équation pour trouver une inconnue.
ΣF = 0 ⇔ ΣFx = 0, ΣFy = 0 (, ΣFz = 0 en 3D)
En 2D on a donc 2 équations, donc au plus 2 inconnues. En 3D on a 3 équations, donc 3 inconnues.
Le diagramme du corps libre (DCL)
C'est l'étape la plus importante, et elle est notée. On isole le point (le nœud où se rejoignent les câbles) et on dessine toutes les forces qui agissent dessus :
Dessine le point seul, « coupé » de tout ce qui le touche.
Fais le tour : chaque câble coupé devient une force. Ajoute le poids (vers le bas).
Note les forces connues avec leur valeur et leur angle, et les inconnues avec une lettre (T_AB, F…).
Élément
Force qu'il exerce
Câble
Une tension T, toujours dans l'axe du câble, toujours en traction (le câble tire, il ne pousse jamais).
Poulie sans frottement
La tension est la même des deux côtés du câble.
Ressort
F = k·s avec s = l − l₀ (longueur actuelle moins longueur à vide). s > 0 : le ressort est étiré et tire.
Masse suspendue
Son poids W = m·g, vertical vers le bas.
Méthode complète
DCL du nœud.
Choisis les axes x et y (en général horizontal et vertical).
Décompose chaque force (module 1), ou en 3D écris chaque force comme F·u (module 3).
Écris ΣFx = 0, ΣFy = 0 (ΣFz = 0) et résous le système.
Une tension négative signifie qu'il y a une erreur : un câble ne pousse pas.
Exemple corrigé 1 · 2D
Une caisse de 550 kg pend au nœud A. Le câble AB monte vers la droite selon une pente 3-4-5 (4 à l'horizontale, 3 à la verticale). Le câble AC monte vers la gauche à 30° de l'horizontale. Tensions ?
Une lampe de 8 kg pend au nœud A. Un ressort AB horizontal (k = 300 N/m, longueur à vide 0,4 m) relie A au mur. Un câble AC monte à 30° au-dessus de l'horizontale vers C. Le mur et C sont à 2 m l'un de l'autre horizontalement. Longueur du câble AC ?
W = 8 × 9,81 = 78,48 N
ΣFy = 0 : T_AC sin30° = 78,48 → T_AC = 156,96 N
ΣFx = 0 : T_AB = T_AC cos30° → T_AB = 135,9 N
Ressort : s = T_AB / k = 135,9 / 300 = 0,453 m → l_AB = 0,4 + 0,453 = 0,853 m
Horizontale restante : 2 − 0,853 = 1,147 m
l_AC = 1,147 / cos30° = 1,32 m
Exemple corrigé 3 · 3D
Un poids de 40 N pend en A (origine). Trois câbles le retiennent : AB vers B(−3 ; −4 ; 8) m, AC vers C(−3 ; 4 ; 8) m, et AD horizontal selon +x. Tensions ?
En 2D, combien d'inconnues peut-on trouver avec l'équilibre d'un seul point ?
Deux équations (ΣFx = 0 et ΣFy = 0), donc deux inconnues au plus.
Un ressort de longueur à vide 2 m mesure 2,5 m, k = 300 N/m. Force ?
s = 2,5 − 2 = 0,5 m, F = 300 × 0,5 = 150 N. On utilise l'allongement, pas la longueur.
06
Produit vectoriel
chapitre 3 · 40 min · indispensable
L'idée. Le produit vectoriel de deux vecteurs donne un troisième vecteur, perpendiculaire aux deux premiers. On l'utilise pour une seule raison en statique : calculer les moments (la tendance à faire tourner). C'est l'outil central du chapitre 3.
C = A × B
|C| = |A| |B| sin θ (θ = angle entre A et B)
Direction : perpendiculaire au plan de A et B, sens donné par la main droite
Main droite : les doigts tournent de A vers B, le pouce donne C.
Propriétés à connaître par cœur
Pas commutatif : A × B = −(B × A). L'ordre compte.
Distributif : A × (B + D) = A × B + A × D.
Scalaire : a(A × B) = (aA) × B.
Deux vecteurs parallèles : A × B = 0 (sin 0° = 0).
i × j = k j × k = i k × i = j (sens du cercle i → j → k → i : signe +)
j × i = −k k × j = −i i × k = −j (sens inverse : signe −)
i × i = j × j = k × k = 0
Calcul en composantes : le déterminant
| i j k |
A × B = | Ax Ay Az |
| Bx By Bz |
= (Ay Bz − Az By) i − (Ax Bz − Az Bx) j + (Ax By − Ay Bx) k
Comment le retenir. Pour la composante i, cache la colonne i et fais le « produit en croix » du carré restant (Ay Bz − Az By). Pareil pour j et k, sans oublier le signe moins devant j.
Le moins devant j est la source d'erreur n°1 du chapitre. Astuce de contrôle gratuite : le résultat C doit être perpendiculaire à A et à B, donc C·A = 0 et C·B = 0. Vérifie toujours, ça prend 20 secondes.
Exemple corrigé
A = {i + 2 j + 3 k}, B = {4 i − j + 2 k}. Calcule A × B.
k → i suit le cercle i → j → k → i, donc signe + : k × i = j.
Si A × B = {2 i − k}, que vaut B × A ?
B × A = −(A × B).
Le produit vectoriel de deux forces parallèles vaut :
|A × B| = AB sin 0° = 0.
07
Moment d'une force
chapitre 3 · 45 min
L'idée. Pousse une porte près des gonds : elle bouge à peine. Pousse près de la poignée : elle s'ouvre facilement. Le moment mesure cette tendance à faire tourner. Il dépend de la force et de la distance au point de rotation. « Donnez-moi un levier et je soulèverai le monde. »
En 2D : moment scalaire
M_O = F · d (en N·m)
d = bras de levier = distance PERPENDICULAIRE de O à la ligne d'action de F
d se mesure à angle droit avec la ligne d'action, pas jusqu'au point d'application.
Convention de signe : un moment qui fait tourner dans le sens anti-horaire est positif (son vecteur sort de la page, selon +k). Horaire : négatif.
Si la force est inclinée d'un angle θ par rapport à la barre de longueur L, le bras de levier devient d = L sin θ.
Théorème de Varignon (le raccourci le plus utile)
Le moment d'une force est égal à la somme des moments de ses composantes. Donc, au lieu de chercher d, tu décomposes F en Fx et Fy et tu fais :
M_O = x·Fy − y·Fx (x, y = coordonnées du point d'application, O à l'origine)
En 3D : moment vectoriel
M_O = r × F
r = vecteur position de O vers N'IMPORTE QUEL point de la ligne d'action de F
| i j k |
M_O = | rx ry rz | = (ry Fz − rz Fy) i − (rx Fz − rz Fx) j + (rx Fy − ry Fx) k
| Fx Fy Fz |
Principe de transmissibilité : on peut faire glisser la force le long de sa ligne d'action sans changer le moment. Choisis le point qui donne le r le plus simple (avec des zéros).
Moment résultant de plusieurs forces : M_RO = Σ (r × F). Si elles s'appliquent au même point, additionne d'abord les forces, puis fais un seul produit vectoriel.
Piège. L'ordre est r × F, jamais F × r (sinon tout change de signe). Et r part de O (le point autour duquel on calcule le moment) vers la force.
Exemple corrigé 1 · 2D avec Varignon
Une force de 500 N s'applique au point A(3 ; 2) m et fait 60° au-dessus de l'horizontale (vers la droite). Moment autour de O ?
Fx = 500 cos60° = 250 N Fy = 500 sin60° = 433,0 N
M_O = x·Fy − y·Fx = 3(433,0) − 2(250) = 1299 − 500 = 799 N·m
Positif → sens anti-horaire. En vecteur : M_O = {799 k} N·m
Exemple corrigé 2 · 3D
Un câble tire sur le sommet A(0 ; 0 ; 12) m d'un poteau avec F = 2000 N, vers le point B(4 ; 12 ; 0) m au sol. Moment autour de la base O ?
r_AB = {4 i + 12 j − 12 k} m, |r_AB| = √304 = 17,44 m
F = 2000 · r_AB/17,44 = {458,8 i + 1376,5 j − 1376,5 k} N
Avec r_OA = {12 k} :
i : (0)(−1376,5) − (12)(1376,5) = −16 518
j : −[(0)(−1376,5) − (12)(458,8)] = +5 506
k : (0)(1376,5) − (0)(458,8) = 0
M_O = {−16,5 i + 5,51 j} kN·m |M_O| = 17,4 kN·m
Contrôle avec r_OB = {4 i + 12 j} : même résultat (transmissibilité) ✓
Une force de 40 N passe exactement par le point O. Son moment autour de O ?
Le bras de levier est nul : d = 0, donc M = 0.
Clé de 0,3 m, force de 100 N perpendiculaire à la clé. Moment ?
M = F d = 100 × 0,3 = 30 N·m.
08
Moment par rapport à un axe
chapitre 3 · 30 min
L'idée. Une porte ne tourne pas autour d'un point, mais autour de l'axe de ses gonds. Seule la partie du moment qui est dans la direction de l'axe la fait tourner. On combine donc produit vectoriel (le moment) et produit scalaire (la projection sur l'axe).
Trouve ua, le vecteur unitaire de l'axe (à partir de deux points de l'axe, module 3).
Choisis r : de n'importe quel point de l'axe vers n'importe quel point de la ligne d'action de F.
Calcule le déterminant 3×3 (ou r × F, puis le produit scalaire avec ua).
Signe positif : le moment tourne autour de +ua (main droite). Négatif : dans l'autre sens.
Cas simple : si l'axe est x, y ou z, M_a est juste la composante correspondante de MO = r × F.
Piège. Si la force est parallèle à l'axe ou que sa ligne d'action coupe l'axe, le moment par rapport à l'axe est nul. Pratique pour vérifier.
Exemple corrigé 1 · axe y
F = {−50 k} N s'applique au point (3 ; 2 ; 0) m. Moment autour de l'axe y ?
r × F = (2·(−50) − 0·0) i − (3·(−50) − 0·0) j + (0) k = {−100 i + 150 j} N·m
M_y = composante j = 150 N·m
Exemple corrigé 2 · axe quelconque
Axe passant par A, de direction u = (4/5) i + (3/5) j. Le vecteur de A au point d'application vaut r = {−2 k} m et F = {4 i + 12 j − 3 k} N. Moment par rapport à l'axe ?
Fais-les sur papier. Cherche au moins 10 minutes avant d'ouvrir l'indice, puis la correction. Les données sont toutes dans l'énoncé.
Exercice 1 Module 1
F1 = 600 N fait 30° au-dessus de l'axe +x. F2 = 400 N fait 45° à gauche de l'axe +y (elle monte vers la gauche). Intensité et direction de la résultante ?
Indice
Pour F2, l'angle est mesuré depuis y : F2x = −400 sin45°, F2y = +400 cos45°.
Correction
FRx = 600 cos30° − 400 sin45° = 519,6 − 282,8 = 236,8 N
FRy = 600 sin30° + 400 cos45° = 300 + 282,8 = 582,8 N
FR = 629 N θ = arctan(582,8/236,8) = 67,9° au-dessus de +x
Exercice 2 Module 1
Trois forces (en kN) : F1 = {12 i − 9 j}, F2 = {20 j}, F3 = {12 i + 9 j}. Résultante ?
Une force F = {300 j} N. Un segment AB a pour direction uAB = (2/7) i + (6/7) j + (3/7) k. Composantes de F parallèle et perpendiculaire à AB ?
Correction
F∥ = F · u = 300 × 6/7 = 257 N
F⊥ = √(300² − 257,1²) = 155 N
Exercice 6 Module 4
F = {10 i + 20 j − 5 k} N, axe de direction u = (2/3) i − (1/3) j + (2/3) k. Calcule F∥ et F⊥. Que signifie le signe de F∥ ?
Correction
F∥ = (20 − 20 − 10)/3 = −3,33 N (négatif : la projection est dans le sens −u)
|F| = √(100 + 400 + 25) = √525 = 22,91 N
F⊥ = √(525 − 11,11) = 22,7 N
Exercice 7 Module 5
Un cylindre de 10 kg pend au nœud C. Le câble CA monte vers la gauche à 30° de l'horizontale ; le câble CB monte vers la droite à un angle θ de l'horizontale. La tension dans CB est le double de celle dans CA. Trouve θ, T_CA et T_CB.
Indice
Écris T_CB = 2 T_CA dès le début. L'équation en x donne cos θ directement.
Sur la pointe des pieds, le sol pousse sur le pied avec Nt = 400 N, avec un bras de levier de 0,100 m autour de la cheville A. Le tendon d'Achille tire avec Ft, avec un bras de levier de 0,065 cos5° m, en sens opposé. Le moment résultant en A doit être nul. Calcule Ft.
Correction
ΣM_A = 0 : 400 × 0,100 − Ft × 0,065 cos5° = 0
Ft = 40 / 0,0648 = 618 N
Remarque : le tendon a un bras de levier plus petit, il doit donc tirer plus fort que la réaction du sol.
Exercice 11 Module 7 · 3D
Un mât vertical a son sommet en A(0 ; 0 ; 6) m. Deux câbles tirent sur A : FB = 780 N vers B(0 ; 2,5 ; 0) m et FC = 420 N vers C(3 ; −2 ; 0) m. Moment résultant autour de la base O, en vecteur cartésien ?
Indice
Les deux forces s'appliquent au même point A : additionne-les d'abord, puis un seul produit vectoriel avec r_OA = {6 k}.
Correction
r_AB = {2,5 j − 6 k}, |r_AB| = 6,5 FB = 780/6,5 × (2,5 j − 6 k) = {300 j − 720 k} N
r_AC = {3 i − 2 j − 6 k}, |r_AC| = 7 FC = 60 × (3 i − 2 j − 6 k) = {180 i − 120 j − 360 k} N
F = {180 i + 180 j − 1080 k} N
M_O = (6 k) × F : i : 0·(−1080) − 6·180 = −1080 j : −[0 − 6·180] = 1080 k : 0
M_O = {−1080 i + 1080 j} N·m
Exercice 12 Module 8
Une force F = {10 i − 20 j + 30 k} N s'applique au point P(2 ; 1 ; −1) m. Calcule le moment de F autour de l'axe x, puis autour de l'axe z.
Correction
r × F : i : (1)(30) − (−1)(−20) = 10
j : −[(2)(30) − (−1)(10)] = −70
k : (2)(−20) − (1)(10) = −50
M_x = 10 N·m M_z = −50 N·m (sens horaire vu depuis +z)
Après ces 12 exercices, reprends les PDF d'exercices complémentaires de ton prof (vecteur position, produit scalaire, statique, moment). Ils ressemblent davantage au DS car il faut lire les données sur la figure. Commence par ceux du chapitre où tu as le plus hésité.
Mini-DS · 1 heure
Nouveau : le mini-DS corrigé automatiquement. Un sujet différent à chaque essai, tu tapes tes résultats, le site te donne une note sur 20 et la correction. Tu peux envoyer le lien du sujet à la classe. Lancer le mini-DS interactif ▸
Version papier ci-dessous : sans le cours, avec calculatrice. Lance le chrono, fais tout, puis corrige-toi avec le barème.
60:00
Q1 · 3 pts
F1 = 200 N à 30° au-dessus de +x et F2 = 150 N à 135° depuis +x. Intensité et direction de la résultante.
Correction
FRx = 173,2 − 106,1 = 67,1 N FRy = 100 + 106,1 = 206,1 N
FR = 217 N θ = 72,0° depuis +x
Un sac de 20 kg pend à un nœud. Le câble gauche monte à 40° de l'horizontale, le câble droit monte à 60° de l'horizontale. Fais le DCL et calcule les deux tensions.
Correction
W = 196,2 N
ΣFx : −T_G cos40° + T_D cos60° = 0
ΣFy : T_G sin40° + T_D sin60° − 196,2 = 0
T_G = 99,6 N T_D = 152,6 N
1 pt DCL, 1 pt équations, 2 pts résultats.
Q5 · 4 pts
F = {4 i − 2 k} N s'applique en P(1 ; −2 ; 3) m. Calcule MO, sa norme, et le moment autour de l'axe x. Vérifie ton résultat par un produit scalaire.
|A×B| = AB sin θ, A×B = −B×A
i×j = k, j×k = i, k×i = j
(AyBz−AzBy) i − (AxBz−AzBx) j + (AxBy−AyBx) k
Vérif : C·A = C·B = 0
Moment
2D : M = F d (d ⟂), + anti-horaire
Varignon : M = x Fy − y Fx
3D : M_O = r × F (r de O vers la ligne d'action)
Moment / axe
M_a = u_a · (r × F) = det(u ; r ; F)
M_a vecteur = M_a u_a
Axe x, y, z : composante de M_O
Calculatrice vectorielle
Pour vérifier tes calculs, pas pour les remplacer : le jour du DS, tu fais tout à la main. Entre deux vecteurs (et un axe si tu veux un moment par rapport à un axe, avec A = r et B = F).
Exemple pré-rempli : l'exercice 12 (A = r, B = F, axe = x).